Unidad de Investigaciones-Ciencias Matemáticas y Naturales - Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Ejemplo de la descripcióEste proyecto estudia la existencia y bifurcaciones de ciclos límite en sistemas de Filippov de dimensión superior, donde la variedad de conmutación Σ es no lineal, de codimensión uno y tiene múltiples componentes conexas. Los sistemas de Filippov son sistemas de ecuaciones diferenciales suaves a trozos, excepto en Σ, cuyas trayectorias locales están definidas según las convenciones de Filippov. Estos sistemas modelan una amplia diversidad de fenómenos donde la dinámica cambia abruptamente, es decir, con discontinuidades inherentes, en áreas como la ingeniería, la economía, la biología y
la física.
 

Aunque se han hecho avances significativos, especialmente en las dos últimas décadas, en casos particulares (como sistemas en espacios euclidianos con estructuras específicas), en general en dimensiones superiores sigue presentando desafíos. En particular, cuando los ciclos límite intersectan más de dos veces la variedad de conmutación Σ o cuando Σ tiene múltiples componentes conexas. Este trabajo busca generalizar el método de Melnikov para analizar la emergencia de ciclos límite en estos casos.

Problema de investigación

Sea M una variedad diferenciable de dimensión n y h: M → R una función suave que toma a 0 como valor regular. En este proyecto, consideraremos sistemas diferenciales suaves a trozos sobre M, definidos de la siguiente manera:

dx/dt = Z(x) = (X, Y)(x) = X(x) + Sign(h(x)) Y(x), (1)
 

donde x ∈ M, y X, Y: M → TM son campos vectoriales suaves sobre M. En este contexto, denotamos Z = (X, Y) y decimos que Z es un campo vectorial suave a trozos. El conjunto Σ = h^{-1}(0) se denomina variedad de conmutación. Filippov, en su libro [1], estableció una serie de reglas para definir las trayectorias locales del sistema (1). Hoy en día, estas reglas se conocen como convenciones de Filippov, y el sistema (1) se denomina sistema de Filippov (o el campo Z como campo de Filippov) cuando se asumen dichas convenciones. Varios fenómenos reales en áreas como la ingeniería, la biología y la física son modelados por sistemas de Filippov [2, 3, 4, 5, 6]. Además, existen otras convenciones para las soluciones de sistemas discontinuos, las cuales también modelan fenómenos reales [7, 8].

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